ثابت کنید در هر دایره شعاع عمود بر وتر ، وتر و کمان نظیر را نصف میکند.

برای اثبات این قضیه، ابتدا تصاویر و مفاهیم زیر را در نظر می‌گیریم: 1. یک دایره با مرکز O و شعاع r. 2. یک وتر AB که در دایره قرار دارد. 3. عمود کردن شعاع OC بر وتر AB که در نقطه C (تقاطع شعاع و وتر) واقع می‌شود. حالا بیایید مراحل اثبات را دنبال کنیم: ### مراحل اثبات: 1. **نقطه C در AB**: - OC عمود بر AB است، بنابراین زاویه OCA و OCB هر دو 90 درجه هستند. 2. **مثلث‌های مستقیم**: - حالا مثلث‌های OAC و OBC را در نظر می‌گیریم. از آنجا که OC عمود بر AB است، این دو مثلث راست‌گوشه هستند. 3. **استفاده از قضیه فیثاغورث**: - در مثلث OAC: $$O{A}^2=O{C}^2+A{C}^2$$ - و در مثلث OBC: $$O{B}^2=O{C}^2+B{C}^2$$ 4. **برابری شعاع‌ها**: - از آنجا که OA و OB هر دو شعاع هستند و برابرند، می‌توانیم بنویسیم: $$O{C}^2+A{C}^2=O{C}^2+B{C}^2$$ - با کم کردن OC² از دو طرف معادله، به نتیجه زیر می‌رسیم: $$A{C}^2=B{C}^2$$ 5. **نتیجه‌گیری**: - از آنجا که AC² = BC² است، بنابراین AC = BC. - این نتیجه نشان می‌دهد که نقطه C وتر AB را در نقطه وسط آن تقسیم می‌کند. ### نتیجه: بنابراین، ثابت کردیم که اگر شعاعی از مرکز دایره بر یک وتر عمود شود، آن وتر را به دو بخش مساوی تقسیم می‌کند. این تقسیم‌بندی همچنین به کمان نظیر (کمان بین نقاط A و B) نیز مربوط می‌شود، زیرا کمان‌ها نیز نسبت به نقاط A و B متقارن هستند. با این تعبیری که با استفاده از مثلث‌ها و قضیه فیثاغورث بیان کردیم، نشان دادیم که قطر عمود بر وتر، وتر و کمان نظیر را نصف می‌کند.